리에나르-비헤르트 퍼텐셜 (Liénard–Wiechert potential )은 움직이는 대전된 입자 가 만드는 뒤처진 전자기 퍼텐셜 이다. 프랑스 의 알프레드마리 리에나르(프랑스어 : Alfred-Marie Liénard , 1869〜1958)가 1898년[ 1] 독일 의 에밀 요한 비헤르트(독일어 : Emil Johann Wiechert , 1861〜1928)가 1900년[ 2]
전하
q
{\displaystyle q}
t
′
{\displaystyle t'}
y
(
t
′
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t')}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
전위
ϕ
(
t
,
x
)
{\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )}
벡터 퍼텐셜
A
(
t
,
x
)
{\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}
뒤쳐진 시간
t
ret
{\displaystyle t_{\text{ret}}}
y
ret
{\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}}
y
˙
ret
{\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
t
ret
{\displaystyle t_{\text{ret}}}
t
ret
=
t
−
|
x
−
y
(
t
ret
)
|
c
{\displaystyle t_{\text{ret}}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} (t_{\text{ret}})|}{c}}}
로렌츠 게이지 에서, 전위와 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.
ϕ
(
t
,
x
)
=
q
4
π
ϵ
0
r
(
1
−
r
^
⋅
y
˙
ret
/
c
)
{\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}}}
A
(
t
,
x
)
=
μ
0
q
y
˙
ret
4
π
r
(
1
−
r
^
⋅
y
˙
ret
/
c
)
{\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}q{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}{4\pi r(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}}}
여기서
r
^
=
(
x
−
y
ret
)
/
‖
x
−
y
ret
‖
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}})/\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}}\Vert }
은 입자의 뒤처진 위치
y
ret
{\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
단위벡터 이고,
r
=
‖
x
−
y
ret
‖
{\displaystyle r=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}}\Vert }
은 입자의 뒤처진 위치
y
ret
{\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
c
{\displaystyle c}
빛의 속도 이고,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
유전율 이고,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
투자율 이다.
만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 (
y
˙
ret
=
0
{\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}=\mathbf {0} }
쿨롱 퍼텐셜 이 된다.
ϕ
(
t
,
x
)
=
q
4
π
ϵ
0
r
{\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
A
(
t
,
x
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장 을 리에나르-비헤르트 장 (Liénard–Wiechert field )이라고 하며, 다음과 같다.
E
=
q
4
π
ϵ
0
(
1
−
r
^
⋅
y
˙
ret
/
c
)
3
(
(
1
−
‖
y
˙
ret
‖
2
/
c
2
)
(
r
^
−
y
˙
ret
/
c
)
r
2
+
(
y
¨
ret
×
(
r
^
−
y
˙
ret
/
c
)
)
×
r
^
r
c
)
{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)^{3}}}\left({\frac {(1-\Vert {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}\Vert ^{2}/c^{2})({\hat {\mathbf {r} }}-{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}{r^{2}}}+{\frac {({\ddot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}\times ({\hat {\mathbf {r} }}-{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c))\times {\hat {\mathbf {r} }}}{rc}}\right)}
B
=
r
^
×
E
/
c
{\displaystyle \mathbf {B} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /c}
즉, 원거리장(far field )은 입자의 (뒤처진) 가속도
y
¨
ret
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}
포인팅 벡터 를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식 을 얻는다.
↑ Liénard, A.-M. (1898). “Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique concentrée en un point et animée d’un movement quelconque ”. 《L’Éclairage Électrique 》 16 : 5–14, 53–59, 106–112. ↑ Wiechert, E. (1900). “Elektrodynamische Elementargesetze ”. 《Archives Néerlandes 》 5 : 549–573.
